Wilki i zające, czyli o matematycznym modelowaniu

Wyobraźmy sobie, że interesuje nas zachowanie ciał Układu Słonecznego – po jakich krążą orbitach, jak ze sobą oddziałują itd. Modelowanie matematyczne zawsze zaczyna się od wyboru celu, który chce się osiągnąć, i tak silnym uproszczeniu analizowanego układu, jak to tylko możliwe – byle nie przesadzić. W tym przypadku cała niewyobrażalna złożoność budowy Ziemi (czy dowolnej innej planety) może zostać uproszczona do postaci punktu materialnego – całej masy planety (lub gwiazdy) skupionej w jednym punkcie przestrzeni. Oddziaływania grawitacyjne między umieszczonymi w wybranych miejscach „punktami masy” oblicza się za pomocą wybranego wzoru, np. wzoru Newtona. Następnie wyznacza się przesunięcie położenia wszystkich takich punktów po upłynięciu wybranego, bardzo krótkiego okresu, przesuwa je i ponownie oblicza wszystkie niezbędne siły. Proste.

Tego typu procedura to jeden z bardziej popularnych przykładów na tzw. numeryczne modelowanie matematyczne; „numeryczne”, ponieważ w istocie polega ono na żonglowaniu potwornymi ilościami numerków. Przed epoką komputerów nikomu nawet nie śniłoby się wykonywanie takich ilości obliczeń – milionów, miliardów i bilionów prostych operacji matematycznych. Dzisiaj, gdy każdy z nas może w zaciszu swojego domu zmusić swój domowy komputer do wykonywania tej benedyktyńskiej pracy, numeryczne modele matematyczne stosowane są w każdej praktycznie dziedzinie nauki.

Z nieco „filozoficznego” punktu widzenia interesujące jest zwłaszcza to, że po potraktowaniu planety jako punktu (albo organizmu żywego jako sferycznego pojemnika z osoloną wodą) nie tylko da się przewidzieć cokolwiek, ale że czasem da się przewidzieć bardzo dużo. Ponadto, same „reguły gry” również mogą zostać nieprawdopodobnie uproszczone – a jednak w takim prościutkim świecie prościutkich relacji między prościutkimi obiektami wyłaniają się czasem nieprawdopodobnie złożone zjawiska. Zdolność matematyki do generowania tego typu „skoków złożoności” to jeden z punktów węzłowych współczesnej filozofii matematyki i filozofii przyrody. No bo jak to może być, że jedno równanie, którego zapis można zmieścić na paznokciu, generuje zbiór Mandelbrota, który zawiera w sobie całe wszechświaty struktur i kształtów?

Symulacje, które posłużą za przykłady, zostały przeprowadzone dzięki nieprawdopodobnej inicjatywie o nazwie Wolfram Demonstrations Project. Na bazie płatnej matematycznej plaformy obliczeniowej Mathematica udostępniony został darmowy program MathematicaPlayer oraz setki darmowych miniprogramów zawierających najróżniejsze, podatne na manipulowanie nimi modele matematyczne: fale, fraktale, automaty komórkowe, fizyka ciała stałego, modele ekonomiczne, geofizyczne, biochemiczne czy wreszcie ekologiczne. Każdy może je pobrać i dowolnie bawić się wolnymi parametrami modelu; dla programistów dostępny jest również kod tych aplikacji. Pośród innych trafiłem tam na model ekologiczny typu „drapieżnik-ofiara” autorstwa Hiroki Sayama. Zasady są bardzo proste.

Czerwona kropka symbolizuje wilka; niebieska: zająca. Kolejne rysunki czytane w „normalnej” kolejności (od lewej góry do prawego dołu) ilustrują mniej więcej co dziesiątą klatkę z filmu obrazującego dynamikę populacji tych dwóch gatunków. Reguły są następujące:

1. Wilki i zające co kolejkę ruszają się w losowym kierunku o odległość, odpowiednio, a_wilk i a_zając.

2. Wilki i zające rozmnażają się co, odpowiednio, b_wilk i b_zając kolejek.

3. Jeśli wilk napotka zająca, zjada go.

4. Jeśli wilk nie napotka zająca przez c_wilk kolejek, umiera.

(5. Zające nie giną z przyczyn „naturalnych”, mogą tylko zostać zjedzone).

Tyle. Mamy cztery reguły i pięć wolnych parametrów (ruchliwość wilków a_wilk, ruchliwość zajęcy a_zając, płodność wilków b_wilk, płodność zajęcy b_zając i żywotność wilków c_wilk), dwuwymiarowe kwadratowe pole, ograniczone ze wszystkich stron, i czas. I co się dzieje? Istnieją nie więcej niż trzy ogólne możliwości, które występują zależnie od wartości poszczególnych parametrów:

a) populacja wilków wymiera, a zające mnożą się w nieskończoność. Zdarza się to np. przy skrajnie małej żywotności i płodności wilków;

b) populacja zajęcy zostaje pożarta, po czym wymierają i wilki. Zdarza się to np. przy skrajnie małej płodności zajęcy, ewentualnie nieproporcjonalnie wysokiej ruchliwości i płodności wilków;

c) obie populacje trwale koegzystują. Ta możliwość pojawia się dość często i występuje w licznych „wariantach przestrzennych”, np.:

c1) wilki i zające „ganiają się” radialnie wokół planszy. Populacja zajęcy rozrasta się w jednym kierunku, a z drugiej strony jest pożerana przez ciągnącą się za nią populację wilków;

c2) wilki i zające „zakwitają” naprzemiennie w rozrzuconych po planszy skupiskach: zakwit zajęcy zostaje napoczęty przez samotnicze wilki, które następnie rozmnażają się gwałtownie i pożerają wszystkie okoliczne zające; nadmiernie rozrośnięta populacja wilków wymiera, a pozostałe przy życiu samotnicze zające tworzą nowy zakwit;

c3) i wiele innych subtelnych odmian.

Powyższa ilustracja przedstawia przypadek pośredni między c1 i c2: wilki są zbyt ruchliwe, żeby po prostu wlec się za zającami, jednak z drugiej strony zające są zbyt „nieruchawe”, żeby oddalić się od wilków i zakładać niezależne kolonie. Całość sprawia raczej wrażenie dwóch goniących się rojów much. Cóż może nas interesować w takiej symulacji?

Przede wszystkim interesujący jest cykliczny charakter tego procesu, w którym każdy nadmierny rozrost populacji zajęcy jest natychmiast temperowany przez pobudzone taką ilością pokarmu wilki, podczas gdy nadmierna ilość wilków prowadzi do przetrzebienia zajęcy i w rezultacie śmierci przegłodzonych wilków, co ułatwia rozród zajączkom. Dwa sprzężenia zwrotne. Ich wynikiem są nieustające wahania rozmiarów populacji, które można dostrzec gołym okiem na powyższej ilustracji, zaś do bliższej analizy najlepiej nada się wykres pochodnej rozmiarów obu populacji, czyli wielkości obrazującej zmianę, jaka zaszła w danej kolejce w rozmiarze populacji wilków i zajęcy.

Jest tu dobrze widoczna charakterystyczna dla reakcji oscylacyjnych współzależność stopy wzrostu dwóch sprzężonych zmiennych: dodatnia stopa wzrostu wilków praktycznie zawsze współwystępuje z ujemną stopą zajęcy – i vice versa. Innymi słowy, występuje niemal całkowity brak okresów „obustronnego regresu” lub „obustronnego progresu”: w dowolnym momencie czasowym jeden gatunek przeżywa sukces reprodukcyjny, a inny klęskę populacyjną. Jakie to życiowe, prawda? Sukces jednego zawsze odbywa się kosztem drugiego; w rzeczywistej ekologii o zamkniętym łańcuchu pokarmowym (tu – brakuje pokarmu dla zajęcy) odpowiada temu zamknięta pula biomasy: do rozporządzania w danym biomie jest pewna ilość (n kg) węgla organicznego i tylko od stanu lokalnych przepychanek zależy, która populacja przejęła w danym momencie większą część tej puli. Jeśli założymy, że wilk waży 2,5 razy tyle, co zając, nasza historyjka przybierze jeszcze bardziej dramatyczny charakter. Oś Y reprezentuje teraz chwilowy udział danego gatunku w (zmieniającej się!) całości dostępnej biomasy:

Prawda, że to uderzająca regularność? Niemal całkowita symetria, stojąca w jawnym kontraście do chaotycznych ruchów wilków i zajęcy zilustrowanych na pierwszym rysunku. Nie jest to też jednak nudna cykliczność idealna – raczej typ dynamiki, który dziś określa się zwykle mianem chaosu deterministycznego.

Istnieją niezliczone przykłady procesów naturalnych ewoluujących na podobny sposób; to zresztą stanowi powód, dla którego modele matematyczne cieszą się taką popularnością. Coś, co kiedyś służyło do przewidywania populacji zajęcy, może dziś pomagać w szacowaniu poziomu insuliny we krwi. Pośród setek możliwych analogii pomyślmy np. o zmianie poparcia dla wiodących partii politycznych – zainteresowanych zachęcam do odnalezienia wykresu przedstawiającego zmianę poparcia dla Demokratów i Republikanów w Stanach Zjednoczonych na przestrzeni lat – wykres jest nie do odróżnienia od tego powyżej. Jest to zresztą zrozumiałe; o polityce można przecież swobodnie pomyśleć jako o systemie ekologicznym, w którym występuje konkurencja o ograniczone zasoby.

Ilościowe podobieństwo może – ale nie musi – wiązać się z podobieństwem mechanizmu przyczynowego, a matematyka może łatwo zwieść nas na manowce. Warto więc zastanowić się, czy wszelkie podobnego typu wykresy – które możemy odnaleźć w klimatologii czy medycynie – rzeczywiście wskazują na występowanie procesów „ekologicznych”. Alfred North Whitehead twierdził, że wszystkie procesy naturalne „dzieją się” w ten sam sposób, przypominający nieco czynności życiowe aktywnego, reagującego na otoczenie organizmu, wchodzącego w relacje z innymi organizmami, tworzącego tym samym swoistą „ekologię procesów”. Elementarne modele matematyczne dają nam wyjątkową możliwość podglądania, w jaki sposób tego typu ogólne wzorce „dziania się” procesów wyłaniają się z chaosu pojedynczych zdarzeń. W tej dziedzinie wszystko jeszcze przed nami.

Łukasz Lamża