Skończona nieskończoność

Arystoteles pisał: „Piękno opiera się na porządku, symetrii i klarowności”. Podobne sentencje, jak często powtarzana: „Piękno to harmonia i blask”, stały się naszym dziedzictwem. Gdy jednak weźmiemy do ręki grubą księgę sumującą życie i osiągnięcia Einsteina, od razu rzuci nam się w oczy, iż wydawcy wybrali na jej tytuł taki oto cytat z jego wypowiedzi: „Piękno jest to pewna dziwność pojawiająca się w proporcji”. Podobne zdanie znalazło się już wcześniej choćby u Boecjusza, wciąż jednak to pogląd kontrastujący z tradycyjnym. Rozwój fizyki zdaje się potwierdzać einsteinowską intuicję. A może obie te koncepcje komplementarnie współistnieją?

Potęga zasad zachowania

Nie chodzi tu oczywiście o zasady zachowania się przy stole. Najpowszechniej znaną fizykalną zasadą zachowania, to znaczy zachowania raz danej wartości liczbowej na stałe (lub na długo), jest zasada zachowania energii (ZZE). Kiedy np. wyrzucimy do góry kamień, to w miarę wznoszenia się jego energia kinetyczna maleje, ale za to rośnie jego energia potencjalna. ZZE mówi, że suma tych obu rodzajów energii, czyli energia całkowita, zachowuje (w każdej chwili lotu, tak w górę, jak i w dół) zawsze tę samą wartość. Istnienie takiej zasady jest bardzo wygodne, bo możemy np. wyliczyć z niej natychmiast, na jaką wysokość kamień się wzniesie. Mówiąc ogólnie, całkowita energia układu zachowuje zawsze tę samą wartość.

Inna ważna zasada dotyczy całkowitego pędu układu ciał (ZZP). Gdy armata wystrzeliwuje poziomo pocisk, to następuje jej odrzut do tyłu. Pęd układu „armata i pocisk” był przed wystrzałem zerowy, a zgodnie z ZZP także po wystrzale pęd pocisku skierowany „do przodu” musi zostać zrekompensowany przez wektor pędu „do tyłu”, który uzyskuje armata. Bardzo łatwo obliczymy z tej zasady np. prędkość armaty.

Trzecia ważna zasada zachowania w fizyce klasycznej odnosi się do ruchu obrotowego i dotyczy tzw. momentu pędu, który po polsku bywa nazywany obrazowym słowem „kręt”. Kiedy kręcąca piruet łyżwiarka chce zwolnić swe szybkie obroty, rozkłada ręce jak najdalej od ciała – gdy natomiast chce powrócić do szybkiego wirowania, przyciąga je ku sobie jak najściślej. Z zasady zachowania krętu (ZZK) wynika bowiem, że im bliżej siebie są masy układu, tym szybciej on musi wirować. I znów można natychmiast poprzez ZZK tę szybkość obliczyć.

Zasady zachowania są uniwersalne. Gdy w wirującej wolno gwieździe zakończą się reakcje jądrowe wytwarzające ciśnienie, które przeciwdziała grawitacyjnemu jej ściskaniu, grawitacja powoduje gwałtowny „kolaps” gwiazdy do maleńkiej objętości. ZZK „z góry” przewiduje, że tak skolapsowana gwiazda (np. pulsar) wiruje bardzo szybko – co rzeczywiście stwierdzono.

Zasady zachowania tworzą generalne ramy fizyki, określając, co może zajść, a co nie.

Porządek, piękno i doskonałość

Z symetriami spotykamy się w życiu na każdym kroku: w powtarzających się elementach struktur (posadzek, kryształów itp.), w powtarzających się cyklach (dni i nocy, Księżyca), a także w dziełach człowieka (w architekturze, muzyce, poezji). Symetrie dają poczucie ładu i bezpieczeństwa. Pitagorejczycy mówili, że „Kosmos jest harmonią i liczbą”, zaś Hermann Weyl, wybitny matematyk i myśliciel, napisał: „Symetria jest ideą, za pomocą której człowiek stara się od niepamiętnych czasów ogarnąć myślą i tworzyć porządek, piękno i doskonałość”. Wyraził się też bardziej operacyjnie: „Przedmiot ma symetrię wtedy, gdy możemy coś z nim zrobić, a mimo to będzie on wyglądał tak, jak przed tą operacją”. Obserwator nie jest w stanie powiedzieć, czy taka operacja została dokonana. Ściślej nazywa się tę operację transformacją – istotą symetrii jest zaś brak zmiany, czyli niezmienność względem tej transformacji. Niezmienność czego? W geometrii – wyglądu; w fizyce – zjawisk i praw; w matematyce – równań. Niezmienność – precyzyjne słowo nauk ścisłych to „niezmienniczość” – jest również istotą zasad zachowania: przed i po, tu i tam – jest to samo i tyle samo.

Tradycyjnie wyprowadza się zasady zachowania (matematycznie) z najbardziej fundamentalnych praw fizyki, takich jak prawa Newtona czy Maxwella, a same te prawa uzyskuje się przez uogólnienie obserwacji i doświadczeń. Porządek logiczny rozumiano więc tak: obserwowane symetrie przyrody są pięknym, ale wtórnym przejawem i konsekwencją głębokich praw fizyki – praw Wszechświata.

Emmy Noether

Urodziła się w 1882 r. w niemieckiej rodzinie pochodzenia żydowskiego, zamieszkałej w Erlangen w Bawarii. Ojciec i jeden z braci (Fritz) byli profesorami matematyki, lecz dla Emmy karierę uniwersytecką zamykały przepisy – była kobietą. W wieku 18 lat, zamiast uczyć języków w szkole dla dziewcząt, podjęła długą walkę, aby wbrew tym przepisom i obyczajom uzyskać kolejno status studenta matematyki i doktorat (obrona w roku 1904 z najwyższym wyróżnieniem) – została jednak na długie lata zatrzymana przed murem habilitacji. Pomimo tego dalej publikowała prywatnie prace tak wnikliwe, że w roku 1915 nastąpił przełom. Sam David Hilbert zaprosił ją do Getyngi, światowej stolicy matematyków. Mimo protestów wywalczył tam dla niej prawo do habilitacji (rok 1919) – a i tak na drzwiach sali wykładowej wisiało stałe ogłoszenie: „Wykład profesora Hilberta” i dopiero poniżej „W zastępstwie – dr Emmy Noether”.

Rok 1933 przyniósł katastrofę. Po objęciu rządów naziści od razu wyrzucili Żydów z uniwersytetów. Brat Emmy, Fritz, przeniósł się na profesurę do Rosji, ona wybrała Stany Zjednoczone. Uzyskała światową reputację w rozwijaniu abstrakcyjnej algebry, a jako profesor wykładała w Bryn Mawr College i wkrótce równolegle w Princeton. Zmarła niespodziewanie w wieku 53 lat, w roku 1935 – co przynajmniej oszczędziło jej świadomości rozstrzelania Fritza przez stalinowców i zagłady rodziny w hitlerowskich Niemczech. W szerszym świecie uzyskała mało rozgłosu, nieproporcjonalnie do ogromnej wagi jej osiągnięć. Tym niemniej ulica jej imienia istnieje nie tylko w Erlangen, lecz i w Paryżu, a na Księżycu znaleźć można krater Noether.

Słynne twierdzenie

Dlaczego Hilbert zaprosił Noether do Getyngi? Był wtedy pod silnym wrażeniem ostatnich wysiłków Einsteina tworzącego ogólną teorię względności (OTW), co okazało się związane z jego własnymi badaniami krzywizn. Dostrzegł w szczególności, że robocza postać OTW zdawała się podważać świętość świętości fizyków, czyli ZZE, a także ZZP. W roku 1915 Hilbert zwykł mówić: „Obecnie fizyka stała się dla fizyków zbyt trudna” – i zaprosił Emmy Noether, aby mu pomogła rozpatrzyć szczegółowo zasady zachowania.

Chociaż sformułowanie i dowód słynnego twierdzenia Noether wymaga posłużenia się językiem zaawansowanej fizyki teoretycznej (operując lagranżjanami i hamiltonianami, a zwłaszcza zasadą wariacyjną), wystarczy, że podamy poniżej ważne przykłady jego konsekwencji. Otóż z twierdzenia Noether wynikało, że:

▪ ZZE okazała się konsekwencją (!) symetrii względem przesunięć w czasie. Oznacza to, że ZZE wynika wprost, bezpośrednio, z „banalnej” obserwacji, iż zjawiska fizyczne (choćby rezultaty zderzenia dwóch kulek) przebiegają tak samo w chwili obecnej, jak i gdy wywołamy je np. po godzinie.

▪ ZZP okazała się konsekwencją niezmienniczości (symetrii) względem przesunięcia w przestrzeni (rezultaty zderzenia kulek są takie same, gdy zderzenie następuje np. sto metrów dalej).

▪ ZZK okazała się konsekwencją niezmienniczości (symetrii) względem obrotów (zderzenie daje rezultaty niezależne od tego, czy obserwujemy je z danego układu odniesienia, czy obróconego np. o kąt 30º).

Twierdzenie Noether może wywołać szok poznawczy: taka oczywistość, takie (pozornie) „nic” daje tak potężne zasady? Można powiedzieć, że to „nic” jest cechą samej przestrzeni – jej jednorodności (każdy punkt jest taki sam) oraz izotropowości (każdy kierunek jest taki sam).

Wartość twierdzenia Noether polega więc na tym, że zasady zachowania nie są tylko „odgadniętym” uogólnieniem pewnej liczby obserwacji (z ryzykiem, że milionowa obserwacja je obali), lecz ścisłą matematyczną konsekwencją oczywistych (dla nas) symetrii. Wbrew dotychczasowemu przekonaniu, że symetrie wynikają z praw przyrody, twierdzenie to ujawniło, że jest odwrotnie: to prawa przyrody wynikają z symetrii. Najistotniejsze okazało się jednak znaczenie twierdzenia Noether dla dalszego rozwoju fizyki. Fizycy zaczęli poszukiwać coraz głębszych zasad zachowania i praw fundamentalnych poprzez szukanie nowych głębszych symetrii – i osiągnęli na tej drodze ogromne postępy.

Dla odrobiny ścisłości dodajmy, że twierdzenie Noether dotyczy tylko tzw. symetrii ciągłych, czyli takich, gdzie transformację (np. przesunięcie) można przeprowadzać jako ciąg bardzo małych kroczków. Istnieją jednak takie ważne symetrie, zwane dyskretnymi, których małymi kroczkami zrealizować się nie da – sztandarowym przykładem jest odbicie w zwierciadle. Symetrie dyskretne też mogą generować swoje prawa zachowania (taką jest właśnie symetria zwierciadlana), choć nie muszą tego robić.

Symetrie kwantowe

W tym kierunku podążyli fizycy badający cząstki elementarne, odkrywając przy tym coraz głębsze aspekty rzeczywistości. Symetrie kwantowe, które odnajdujemy w abstrakcyjnych przestrzeniach różnych parametrów, nie nadają się jednak do „naocznego” zademonstrowania. Przystaniemy więc w tym kwantowym świecie tylko na chwilkę i tuż pod jego powierzchnią, zaledwie wzmiankując kilka kwestii.

Do najważniejszych należą trzy symetrie, oznaczane symbolami C, P oraz T. Pierwsza z nich, symetria ładunkowa, głosi (w uproszczeniu), że gdy w reakcjach zmienimy ładunki wszystkich cząstek na przeciwne (cząstki zmieniają się przy tym w antycząstki), to tak zmienione reakcje mogą równie dobrze zachodzić, jak te pierwotne. Druga, symetria zwierciadlana, powiada to samo o reakcjach odbitych w lustrze – choć (co łatwo sprawdzić) są one inne, bo kierunek „w lewo” zamienia się na „w prawo”. Trzecia, też głosząca niezmienniczość, to symetria matematycznej zmiany kierunku biegu czasu (od „wcześniej – później” na „później – wcześniej”).

Tu dodajmy, że na najgłębszym poziomie wszelkie oddziaływania („siły”) sprowadzają się do zaledwie czterech: grawitacyjnych, elektromagnetycznych oraz tzw. „słabych” i „silnych” – dwa ostatnie uwidoczniają się w mikroświecie. Otóż symetrie kwantowe, podane powyżej, z reguły potwierdzają się przy badaniu tych fundamentalnych oddziaływań. A jednak nastąpiła niespodzianka.

Ku zdumieniu fizyków z reguł symetrii wyłamują się oddziaływania słabe. Gdy zaproponowano doświadczenie sprawdzające, a mianowicie rozpad jąder kobaltu w polu magnetycznym (za co Chen Ning Yang i Tsung-Dao Lee otrzymali Nagrodę Nobla), tak znakomity fizyk, jakim był Wolfgang Pauli, pisał: „Nie wierzę, że Bóg jest słabym mańkutem, i jestem gotów założyć się o wysoką sumę, że eksperyment da rezultat symetryczny”. A jednak wyraźnie mniej elektronów poleciało w kierunku linii pola magnetycznego niż w przeciwnym – Bóg okazał się leworęczny. Symetria zwierciadlana została złamana, kierunek lewy w przestrzeni okazał się „lepszy” niż prawy. Szok złamania symetrii P spowodował badanie kombinowanej symetrii CP – i tu, ku ogromnemu zaskoczeniu, eksperymenty pokazały (Nagroda Nobla dla Jamesa Cronina i Vala Fitcha), że i ona bywa łamana. Odtąd przy szukaniu głębokich symetrii kwantowych kluczowe stało się pytanie, czy są one dokładne, czy dopuszczają złamania.

My, dzieci symetrii

Wszechświat składa się głównie z nadających mu masę protonów i neutronów, z których (obok elektronów, dwa tysiące razy lżejszych) zbudowani jesteśmy my, planety, gwiazdy – ale też z fotonów tworzących przenikające cały kosmos promieniowanie elektromagnetyczne. Czego jest więcej: protonów czy fotonów? Wynik nietrudnego obliczenia (potwierdzonego pomiarami) może budzić zdumienie: na jeden proton przypada aż około dwóch miliardów fotonów. W istocie jednak ta wielka liczba jest niezrozumiale… mała. Dlaczego?

Rozważmy najprostszy scenariusz. W bardzo wczesnym Wszechświecie, gdy temperatura była jeszcze bardzo wysoka (powyżej 1012 K), energia zderzających się ze sobą fotonów była tak olbrzymia, że z łatwością wystarczała (zgodnie z zasadą E = mc2) na kreację posiadających masę protonów. Ponieważ jednak protony są naładowane dodatnio, zaś fotony ładunku elektrycznego nie mają, to zasada zachowania ładunku (kolejna symetria) żąda, aby w każdym zderzeniu dwóch fotonów oprócz protonu powstawała jego antycząstka, czyli ujemnie naładowany antyproton. Narodziny antycząstek są czymś rzeczywistym – obserwujemy je nieustannie w zderzeniach cząstek rozpędzonych potężnymi akceleratorami (np. w CERN-ie). Z miliardów fotonów rodziły się więc miliardy protonów i antyprotonów; materia i antymateria, w dokładnie równych ilościach – zgodnie z tym, czego żąda potwierdzona wielokrotnie w doświadczeniach protonowa symetria (nazywana symetrią barionową). Z kolei wpadające na siebie protony i antyprotony musiały uczestniczyć w reakcji odwrotnej do kreacji, czyli anihilacji – to znaczy znikały, zamieniając się w energię w postaci fotonów. Takie obukierunkowe reakcje są bardzo szybkie, dając w rezultacie trzy gęste przenikające się „morza” rozpędzonych cząstek pozostających w równowadze.

Do czasu. Pamiętajmy bowiem, że Wszechświat rozszerzał się, co gwałtownie obniżało jego temperaturę, a więc i energie cząstek. Stąd radykalna zmiana: gdy energie fotonów spadły poniżej koniecznej do wytworzenia mas protonu i antyprotonu (są one takie same), to dalsze ich kreowanie nie było już możliwe. Reakcje anihilacji jednak pozostały i szybko powinny zamienić powstałe wcześniej pary proton-antyproton w fotony. Ponieważ przyjęty scenariusz przewiduje dokładnie równe ilości cząstek i antycząstek, jego końcowy rezultat jest nieubłagany: we Wszechświecie powinny pozostać, od tamtej chwili do dziś, wyłącznie fotony. Ani jednego protonu czy elektronu (dla nich cały scenariusz jest identyczny), a więc żadnych gwiazd czy planet, ani nas, ludzi.

Tymczasem – istniejemy! Jak można wyjść z absurdalnej sytuacji końcowej, do której doprowadził nas powyższy scenariusz? Zwróćmy uwagę, że został on oparty na zasadzie, iż symetria proton-antyproton jest zawsze dokładna, nigdy nie naruszana. Ale wiemy już przecież, że naruszane są czasem symetrie C oraz CP. Nasuwa się więc teza, iż symetria protonowa (barionowa) musiała zostać w jakiś sposób złamana w samych początkach Wszechświata. Na czym dokładnie polegał ten proces, jeszcze nie wiemy.

Wiemy natomiast dokładnie, jaka była jego skala. Przed anihilacją na każdy miliard antyprotonów musiał istnieć miliard protonów – plus jeden. Wtedy bowiem po anihilacjach protonów z antyprotonami, czyli zamianie ich na fotony, pozostaje uratowany z tej totalnej zagłady ten jeden ekstra proton – co daje właśnie obserwowany aż do dziś stosunek jeden proton na dwa miliardy fotonów (liczbowo powyższy rachunek jest przybliżony, chodzi jednak tylko o rząd wielkości).

My i cały nasz obecny Wszechświat pochodzimy tylko z minimalnej „resztówki”, to jest skrajnie drobniutkiej części Wszechświata pierwotnego, która uniknęła totalnej zagłady. Wymknięcie się tej zagładzie zawdzięczamy zaś bardzo niewielkiemu złamaniu pierwotnej symetrii.

Fundamentalne prawa natury, które odkrywamy na coraz głębszych poziomach, wraz z ich matematyczną strukturą, oparte są na symetriach – w istocie są symetriami. A jednocześnie zaistnienie nas jako obserwatorów i badaczy tych symetrii pochodzi z drobniutkiego tych symetrii złamania.

Nie ulega wątpliwości, że wnikliwi badacze Natury dostrzegają i mocno przeżywają piękno zawartej w jej głębiach symetrii, klarownego porządku wewnętrznego, piękno matematycznych równań. A jednak piękno poezji, muzyki czy malarstwa (jak i w ogóle zdarzeń życia) najsilniej chyba nas porusza, gdy zawiera niespodzianki, drobne odstępstwa od symetrii i regularnego porządku; gdy symetria zostaje w nich czasem złamana. Fizyka mówi, że to złamanie zadecydowało o naszym istnieniu, dało nam życie. Czy można by więc zaryzykować twierdzenie, że odczuwamy piękno i symetrii, i jej łamania, dlatego właśnie, że i w nas zostały one zakodowane? I że to dlatego piękna upatrujemy we współistnieniu ich obu?

My, ludzie, dzieci złamanej symetrii – skrajnie mały pyłek Wszechświata, lecz zdolny do jego rozumienia; do partycypacji w racjonalnej strukturze kosmosu, do odczuwania piękna.

Tomasz Płazak