Matematyka: język przyrody i program Wszechświata?

O trafności stwierdzenia Galileusza przekonują sukcesy nauk przyrodniczych. Sukcesy te rozpoczęły się, gdy nowożytna nauka wkroczyła na ścieżkę matematyczno-empiryczną, czyli gdy naukowcy zaczęli posługiwać się matematycznymi równaniami, a swoje teorie testowali w eksperymentach. Nie będzie przesadą stwierdzenie, że empiryczno-matematyczna metoda naukowa pozwoliła wydzierać światu jego kolejne tajemnice – wyjaśniać zjawiska i  przewidywać je – oraz ujarzmiać siły przyrody i zmuszać je, by pracowały dla nas w najróżniejszych urządzeniach i wynalazkach.

Co to jednak znaczy, że matematyka jest językiem przyrody? I czy to przypadek, że właśnie ten język, a nie inny, jest tak skuteczny w odkrywaniu tajemnic Wszechświata?

Jak Platon z Arystotelesem

Na Uniwersytecie New Mexico w Las Cruces w USA fizykom i matematykom zadano kiedyś niecodzienne pytanie: czy twierdzenie spektralne, dotyczące operatorów hermitowskich w przestrzeni Hilberta, było prawdziwe przed Wielkim Wybuchem, przed początkiem Wszechświata? Odpowiedzi twierdzącej udzieliło aż trzy czwarte ankietowanych.

Rueben Hersh, jeden z uczestników głosowania, który opisał je na łamach branżowego periodyku matematyków, nie wspomniał, czy przy ogłaszaniu wyników ankiety doszło do karczemnej awantury, ale można spodziewać się, że eksperyment wywołał przynajmniej ożywioną dyskusję.

Nie trzeba wiedzieć, czym są operatory hermitowskie, żeby zrozumieć istotę całego zamieszania. Dla ułatwienia przyjrzyjmy się jednak równoważnemu pytaniu: czy twierdzenie Pitagorasa było prawdziwe przed narodzinami Pitagorasa, a nawet przed Wielkim Wybuchem?

Jeżeli przyznamy, że twierdzenie Pitagorasa obowiązywało przed Wielkim Wybuchem, uznamy, że prawa geometrii są wieczne (ponadczasowe). Takie poglądy na matematykę zbliżone są do nurtu filozoficznego zwanego platonizmem matematycznym.

Przytoczone wyniki ankiety sugerują, że większość fizyków i matematyków przyjmuje taką wizję – de facto są oni platonikami matematycznymi, choć niekoniecznie sami muszą sobie z tego zdawać sprawę.

Można wymienić całą plejadę fizyków, matematyków i logików, którzy otwarcie przyznają (lub przyznawali) się do platonizmu. Przykłady? Werner Heisenberg – jeden z twórców mechaniki kwantowej, Kurt Gödel – odkrywca wstrząsających twierdzeń limitacyjnych w logice, sir Roger Penrose – matematyk i kosmolog, który przyczynił się do udowodnienia istnienia czarnych dziur.

Z drugiej strony niektórzy matematycy sugestię, że są platonikami, traktują wręcz jako zarzut, bo ten pogląd bardziej kojarzy się ze starożytną sektą Pitagorejczyków, niż z wyrafinowanymi teoriami współczesnej nauki. Zdeklarowani przeciwnicy platonizmu (ze znanych postaci do tej ostatniej grupy należy np. Stephen Hawking) do dzisiaj toczą ze zwolennikami tej filozofii spory, pewnie nie mniej zażarte od tych, które już ponad dwadzieścia kilka wieków temu prowadzili uczniowie Platona i Arystotelesa.

Oczywiście nie zamierzamy przekonywać czytelnika, że poglądy filozoficzne powinno się ustalać drogą głosowania, że należy ślepo podążać za autorytetami, ani tym bardziej, że większość ma zawsze rację. Chodzi raczej o pokazanie, że mimo upływu wielu wieków stara doktryna – sięgająca Platona, a nawet Pitagorejczyków – jest wciąż atrakcyjna nie tylko dla filozofów, ale także przedstawicieli nauk ścisłych.

Nieoczekiwany prezent dla ludzkości

Węgierski matematyk i fizyk, laureat Nagrody Nobla Eugene Wigner napisał zdanie, które matematycy, fizycy i filozofowie wyjątkowo lubią wybierać jako motto swoich książek czy artykułów: „cud odpowiedniości języka matematyki do wyrażania praw fizyki jest niezwykłym darem, którego nie rozumiemy i na który nie zasługujemy”.

Mówiąc o cudzie, Wigner niekoniecznie przesadzał. Historia nauki obfituje w epizody, gdy odkryta przed wielu laty struktura matematyczna nagle znalazła zastosowanie do opisu przyrody. Tak było na przykład ze wspomnianą już przestrzenią Hilberta, skonstruowaną (odkrytą?) na długo przed tym, zanim nieoczekiwanie znalazła zastosowanie w mechanice kwantowej. Matematycy najczęściej pracują niezależnie od fizyków, po czym ci ostatni bez skrupułów wykorzystują przygotowane przez matematyków narzędzia do wyrażenia praw rządzących zjawiskami.

Jednak zarówno matematycy, jak i fizycy, a przede wszystkim filozofowie chcą zrozumieć, dlaczego matematyka jest tak skuteczna. Jedno z rozwiązań podsuwa platonizm matematyczny. Aby go lepiej zrozumieć, cofnijmy się na chwilę do czasów starożytnych.

Usłyszeć liczbę, dodać dźwięk

Pitagorejczycy, którzy w V w. p.n.e. stworzyli coś pomiędzy sektą religijną i kółkiem matematycznym,  byli przekonani, że matematyka, czy ściślej mówiąc stosunki liczbowe, są arche, czyli filozoficzną zasadą Wszechświata. Matematykę widzieli wszędzie: w obiektach fizycznych, w ruchach ciał niebieskich, w muzyce. To od nich pochodzi określenie „muzyki sfer” – poruszające się zgodnie z matematycznymi prawidłami gwiazdy i planety miały odgrywać subtelne melodie.

Podobne zdanie miał Platon, który poglądy matematyczne wkomponował w swoją teorię idei. Platon twierdził, że przedmioty materialne są niedoskonałymi kopiami bytów idealnych. Jedne i drugie różnią się własnościami: idee są niematerialne, wieczne i niezmienne, zaś obiekty materialne mają swój początek i koniec oraz podlegają zmianom.  W dialogu Timaios, Platon przedstawił wizję, w której demiurg tworzy Wszechświat wykorzystując matematykę. W szczególności korzysta z różnych form geometrycznych i proporcji, aby upodobnić kosmos do wiecznego, idealnego pierwowzoru.

Nawet tak pobieżne i uproszczone przedstawienie filozofii Platona pozwala wyprowadzić kilka hipotez na temat natury matematyki. Po pierwsze, w platonizmie formuły matematyczne nie są wytworem człowieka, ale mogą być odkrywane przez przenikliwych uczonych. Po drugie, prawda matematyczna jest niezmienna – idealny charakter matematyki sprawia, że dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe jest zawsze i wszędzie, prawda matematyczna ma charakter absolutny. Co za tym idzie, twierdzenie Pitagorasa byłoby prawdziwe, nawet gdyby nie było matematyków, ani nawet świata fizycznego. Po trzecie, cała przyroda jest „przesiąknięta” matematyką.

Sformułowanie „platonizm matematyczny” podkreśla, że według zwolenników tej koncepcji obiekty matematyczne, na wzór platońskich idei, zamieszkują swój własny świat – królestwo bytów matematycznych. Uprawianie matematyki to nic innego jak odkrywanie własności mieszkańców tego dziwnego świata. Świat matematyki wygląda jak metafora, ale jest metafora płodna filozoficznie i przez niektórych uczonych traktowana dosłownie.

Matematyczność Wszechświata – matematyczna racjonalność

Na zdziwienie Wignera – dlaczego matematyka okazuje się tak skuteczna w badaniu przyrody – platonicy przeważnie odpowiadają następująco: dzieje się tak dlatego, że świat jest matematyczny. Michał Heller – będący zwolennikiem platonizmu – mówi o hipotezie matematyczności świata. Wizja świata przesiąkniętego matematyką wydaje się jednak dość tajemnicza, dlatego trzeba ją doprecyzować. Sam Heller czyni to, pisząc, że: „światu należy przypisać cechę, dzięki której szczególnie skutecznie można go badać za pomocą metody matematycznej. Świat posiada więc racjonalność szczególnego typu – typu matematycznego”.

Heller często porównuje matematykę do software, czyli programu komputerowego. Komputerowa metafora przedstawia się następująco. O ile wszystko co możemy zaobserwować w świecie fizycznym to hardware (sprzęt) Wszechświata, o tyle matematyka to software, czyli program Wszechświata. Mimo że program jest czymś abstrakcyjnym (nie można go dotknąć), jest niezwykle istotny. Nawet najpotężniejszy komputer bez odpowiedniego oprogramowania będzie zupełnie bezużyteczny.

Niektórzy współcześni platonicy głoszą nawet bardziej radykalne poglądy. Wspomniany Penrose pisze wręcz, że: „im lepiej rozumiemy świat fizyczny, im głębiej poznajemy prawa natury, tym bardziej wydaje się nam, że świat fizyczny gdzieś wyparowuje i pozostaje nam tylko matematyka. Im głębiej rozumiemy prawa fizyki, tym dalej wkraczamy w świat matematyki i matematycznych pojęć”.

W takim ujęciu matematyka jest czymś więcej niż językiem doskonale opisującym rzeczywistość. Matematyka jest rzeczywistością. Sam język nigdy nie działa „w próżni”, zawsze musi się do „czegoś” odnosić. Innymi słowy, mówiąc o „opisie”, mamy zawsze do czynienia z opisem „czegoś”. Zdaniem platoników, jeśli matematyka jest językiem przyrody, na dodatek bardzo precyzyjnym, musi ona odnosić się do czegoś, co istnieje rzeczywiście. Czy Galileusz był zatem platonikiem? Tego na pewno nie wiemy. Platońska interpretacja jego słynnych słów o księdze natury z całą pewnością nie jest jednak nadinterpretacją.

Umysł matematyka

Hipoteza Michała Hellera o matematyczności świata ma trzy aspekty: świat, matematykę oraz umysł matematyka. Do tej pory nie zajmowaliśmy się jeszcze tym ostatnim. Czy platońskie twierdzenie, że obiektywnie istniejącą matematykę odkrywamy (tak jak nowe lądy oraz gatunki zwierząt), wyklucza z dyskusji psychologów, filozofów umysłu i neurobiologów? Niekoniecznie.  Pojęcia matematyczne muszą przecież być jakoś odzwierciedlane w naszych umysłach. Ludzie nie zawsze widzieli, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe. Matematyka nie została odkryta w „mgnieniu oka”, nic też nie wskazuje na to, żeby odkrycia matematyczne kiedyś miały się skończyć. Co więcej, nasze umysły bez odpowiedniego treningu – oraz pewnych predyspozycji – są ślepe na bogactwo matematyki. Rola naszych umysłów jest więc niepomijalna. To jednak temat na inną opowieść…

Mateusz Hohol