Homer, Euklides i narzędzia poznawcze

Homer, uważany za ojca pisanej poezji epickiej, prawdopodobnie urodził się w Smyrnie lub na wyspie Chios w VIII w. p.n.e. Tradycja podaje, że był on osobą niewidomą, co koresponduje zarówno z jednym ze znaczeń jego imienia w języku greckim – „ślepiec”, oraz przekazami, zgodnie z którymi w niektórych częściach antycznej Grecji bardowie byli rytualnie oślepiani, co rzekomo miało stymulować ich zdolności mnemotechniczne. Tradycyjnie przypisuje się mu autorstwo „Iliady” i „Odysei”, jednak już w III w p.n.e. pojawiły się wątpliwości, czy Homer faktycznie napisał obydwa dzieła. Problem ten odżył w XVIII w. za sprawą Fryderyka Augusta Wolfa, zdaniem którego „Iliada” i „Odyseja” są w istocie zbiorem przekazywanych ustnie pieśni wyśpiewywanych przez niepiśmiennych bardów, które spisane zostały przez nieznanych autorów dopiero w VI w. p.n.e.  Niezależnie od genezy dzieła, a także tego, czy Homer jest postacią historyczną, „Iliada” i „Odyseja” są kamieniem węgielnym naszej cywilizacji i genialnymi utworami, które do dziś kształtują tożsamość Europejczyków. Powstaje jednak pytanie: jak możliwe było przekazywanie długich pieśni z pokolenia na pokolenie (bez efektu „głuchego telefonu”), skoro greccy bardowie byli niepiśmienni?

O życiu Euklidesa wiemy niewiele, poza tym, że działał w Aleksandrii pod rządami Ptolemeusza, a więc, że jest on postacią historyczną (żył prawdopodobnie w latach 325-270 p.n.e.), i że jest on autorem „Elementów”, traktatu matematycznego, stanowiącego podsumowanie całego wcześniejszego dorobku matematyki greckiej, której korzenie sięgają z kolei do Egiptu. Chociaż historycy matematyki na przestrzeni wieków spierali się, czy Euklides był skrybą podręcznika, czy też odkrywcą zawartych w nim twierdzeń i autorem dowodów (zwyciężyła interpretacja pośrednia, obecnie uznaje się, że niektóre twierdzenia, definicje i postulaty są jego autorstwa), „Elementy” stanowią pierwszą w historii matematyki dokonaną na szeroką skalę aplikację metody aksjomatyczno-dedukcyjnej. Metoda ta, w największym skrócie, polega na wyprowadzaniu twierdzeń z postulatów i aksjomatów, zgodnie z regułami dedukcji.

Zniewalające rozumowania

Rozumowania, które ucieleśnione zostały w dziele Euklidesa mają dwie intrygujące cechy: są one zniewalające, w tym sensie, że wniosek w sposób konieczny wynika z przesłanek (oraz elementów diagramu), a także uniwersalne, co oznacza, że choć punktem wyjścia dla matematyka jest konkretny przypadek, rozumowanie pozostaje ważne dla całej klasy figur. Przykładowo, twierdzenie Pitagorasa mówi nie o tym, że jeśli narysujemy trójkąt prostokątny, to suma kwadratów długości na przyprostokątnych będzie równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej trójkąta, ale że prawidłowość ta zachodzi dla każdego trójkąta prostokątnego. Jak to możliwe? Matematycy i filozofowie matematyki często powtarzają, że te dwie własności dowodów – ich konieczność i uniwersalność – powstają za sprawą stosowania notacji symbolicznej, charakterystycznej dla nowożytnej matematyki. Euklides i inni matematycy greccy nie znali jednak takich symboli. W dowodach używali oni po prostu słów języka greckiego oraz rysowali diagramy.

Choć „Elementy” Euklidesa i inne dzieła greckiej matematyki oraz przekazywane ustnie arcydzieła liryki spisane przez Homera (lub kogoś innego) należą do różnych sfer kultury, ich język dziedziczy pewne podobieństwa strukturalne, które interesujące są z punktu widzenia kognitywistyki – interdyscyplinarnej nauki o umyśle. Zanim jednak przyjrzymy się tym podobieństwom, powinniśmy się zastanowić, z jakimi problemami poznawczymi, osobnymi, ale jednak powiązanymi, poradzić sobie musieli zarówno homeryccy bardowie, jak i greccy matematycy.

Homeryccy bardowie musieli przekraczać naturalne granice ludzkiej pamięci, by zapamiętywać i przekazywać długie partie liryczne. Pozbawieni oni byli jednak zdolności zapisywania tekstu, najbardziej oczywistego narzędzia, które mogłoby pomóc w tym zadaniu. Euklides i inni greccy matematycy znali pismo, ale nie znali nowoczesnych symboli matematycznych, dzięki którym współczesne dowody matematyczne posiadają walory konieczności i ogólności. Mimo tego braku to właśnie Grecy stworzyli abstrakcyjną matematykę. Zarówno bardowie, jak i geometrzy potrzebowali więc protez, czy też narzędzi, które pozwoliły im przekroczyć naturalne granice ludzkiego poznania.

Formuły językowe jako narzędzia poznawcze

Narzędziem tym nie był raczej język grecki sam w sobie (jak mogliby sądzić niektórzy zwolennicy hipotezy relatywizmu językowego, zwanej hipotezą Sapira-Whorfa), ale specyficzne użycie tego języka, które prawdopodobnie „wyewoluowało” samorzutnie w obydwu sferach kultury, liryce i matematyce. Zgodnie z tzw. hipotezą Parry’ego-Lorda (od nazwisk dwóch amerykańskich filologów) pieśni spisane w dziełach przypisywanych Homerowi składają się ze specyficznych elementów, nazywanych formułami językowymi. Według Parry’ego formuła to „grupa słów używanych zawsze w tych samych pozycjach metrycznych do wyrażania pewnych podstawowych treści” (za: Lord, 2010, s. 109). Zdaniem filologa, formuły takie używane były bez namysłu, jako naturalny sposób wprowadzania idei do wersu. Formuły uznać można za narzędzia poznawcze, ułatwiające zarówno zapamiętywanie tekstu przez barda, komponowanie kolejnych partii, jak i przekazywanie go audytorium, ponieważ pasują do metrum (w przypadku Odysei – do heksametru). W przypadku wyśpiewywanej poezji teza taka nie wydaje się kontrowersyjna, co jednak ma to wspólnego z początkami europejskiej matematyki?

Pod koniec XX wieku amerykański filolog i historyk matematyki Reviel Netz zauważył, że „Elementy” Euklidesa i inne greckie traktaty matematyczne (autorstwa Pappusa i Archimedesa) składają się ze stosunkowo niewielkiego, obejmującego około 200 słów leksykonu, zorganizowanego na zasadzie „jedno pojęcie, jedno słowo”. Co jednak bardziej zaskakujące, słowa te nie były łączone w dowolny sposób (zarówno wewnątrz poszczególnych traktatów, jak i pomiędzy autorami), ale tworzą około 200 dobrze ustalonych zwrotów, które Netz, poprzez analogię do odkrycia Parry’ego i Lorda, nazwał formułami. Netz odkrył, że aż 95% zachowanych greckich tekstów matematycznych ma charakter formularny. Uczony ten wskazał, że we wszystkich traktatach antyczni geometrzy używali bardzo podobnych form gramatycznych do opisywania obiektów, takich jak punkt czy prosta, własności obiektów, takich jak proporcja, czy też całych argumentów matematycznych.

Ewolucja języka

Oczywiście analogia między formułami homeryckimi i matematycznymi nie jest doskonała, ponieważ pierwsze z nich wyznaczane są przez metrum utworu, drugie zaś przez formy gramatyczne, jednak zasada jest dość podobna: jedne i drugie są narzędziami pozwalającymi przekroczyć naturalne ograniczenia poznawcze. Użycie dobrze ustalonych formuł matematycznych umożliwiało łatwiejsze opanowanie dyskursu geometrii, wskazywanie błędów w rozumowaniach i przenoszenie pewnych fragmentów rozumowania do innych problemów matematycznych. Formuły miały wreszcie kompozycyjną i hierarchiczną strukturę, co czyniło z nich pierwsze w historii symboliczne narzędzie obliczeniowe. Możemy sobie wyobrazić, że formuły odgrywały bardzo podobną rolę do nowoczesnych symboli matematycznych, którymi – przy odrobinie wprawy – możemy z łatwością manipulować.

Podkreślić jednak trzeba, że formuły powstały samorzutnie. Próżno szukać w starożytnej Grecji czegoś na kształt ministerstwa oświaty czy też nauki. W istocie, jak pisze Netz, greccy matematycy byli raczej samoukami, którzy spotykali się od czasu do czasu by rozwiązywać problemy wspólnie. Formuły (a także diagramy, choć to temat na inną opowieść) czyniły taką współpracę możliwą. Stanowiły one bowiem publicznie dostępne symbole, które pozwalały koordynować myśli (czy bardziej fachowo mówiąc, procesy poznawcze) poszczególnych osób, a także przekazywać je kolejnym pokoleniom adeptów geometrii. Formuły nie powstały oczywiście w Grecji od razu. Możemy wyobrazić sobie, choć brakuje na to dowodów historycznych, że Tales czy wcześni Pitagorejczycy używali mniej wyspecjalizowanego, być może codziennego języka greckiego. Z pokolenia na pokolenie, zarówno leksykon matematyki, jak i kombinacje jego elementów „zacieśniały się” tworząc pierwszy w historii język techniczny. Gdy został on już jednak ustanowiony, stał się, aż do opracowania nowożytnych symboli matematycznych (około XVII wieku), podstawowym narzędziem, dzięki któremu nowe pokolenia matematyków nie musiały wymyślać wszystkiego od nowa. Przykład formuł językowych pokazuje w doskonały sposób, jak wynalazki kulturowe mogą wzbogacać naszą naturę, umożliwiając przekraczanie granic naszych wrodzonych zdolności poznawczych.

Publikacja finansowane w ramach programu Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego pod nazwą „DIALOG” w latach 2016-2019

Aby dowiedzieć się więcej przeczytaj:

Hohol, M., Miłkowski, M. (2019). Cognitive artifacts for geometric reasoning. Foundations of Science. https://doi.org/10.1007/s10699-019-09603-w
Lord, A. B. (2010). Pieśniarz i jego opowieść. Tłum. M. Majewski, Warszawa: Wyd. UW.