Gdzie jest zbiór Mandelbrota?

Jest to zagadnienie, które lubi pojawiać również w kontekście filozofii przyrody, gdzie prostotę budowy atomowej świata zestawia się ze złożonością, powiedzmy, organizmu żywego. Zacznijmy jednak od matematyki.

Zbiór Mandelbrota, czyli…

Rozważmy następujące równanie (1):

z₀ = 0

z_n+1 = z_n² + p ,

gdzie p oznacza dowolną liczbę zespoloną.

Przykładowo, dla trywialnego przypadku liczby p=0+0i:

z₀ = 0+0i

z₁ = (0+0i)*(0+0i) + (0+0i) = (0+0i) + (0+0i) = 0+0i

z₂ = 0+0i

…

Równania tego typu nazywane są rekurencyjnymi, ponieważ ich wynik osiągany jest poprzez wykonywanie w kółko (rekurencyjnie) tego samego działania. Ze względu na nie do końca intuicyjny sposób, w jaki mnożą się liczby zespolone, równanie (1) zachowuje się czasem w sposób niebanalny. Dla nieco mniej trywialnego przykładu p = 1+2i:

z₀ = 1+2i

z₁ = (1+2i)*(1+2i) + (1+2i) = (-3+4i) + (1+2i) = -2+6i

z₂ = (-2+6i)*(-2+6i) + (1+2i) = (-32-24i) + (1+2i) = -31-22i

z₃= (-31-22i)*(-31-22i) + (1+2i) = (-1166 + 1643i) + (1+2i) = -1165 + 1645i

…

Pytanie brzmi: jak będzie zachowywać się to równanie dla wybranej dowolnie wartości p, jeśli będziemy obliczać dowolnie „dalekie” człony równania? Okazuje się, że w pewnych przypadkach będzie dążyło do nieskończoności (plus lub minus) – tak zachowuje się na przykład podana wyżej liczba 1+2i – w innych zaś pozostanie ograniczone. Część rzeczywista i urojona są przy tym zawsze zgodne: albo nieograniczenie rosną/maleją, albo „osiadają” na jakiejś niewielkiej wartości. Zbiór Mandelbrota (ZM) jest zbiorem wszystkich liczb, dla których opisane równanie rekurencyjne nie prowadzi do nieskończoności. Ponieważ zaś równanie jest relatywnie mało skomplikowane, można posłużyć się choćby Excelem dla jego wizualizacji:

Ryc.1 Zachowanie się równania (1) w 12 przypadkach. Punkty należące do zbioru Mandelbrota oznaczone są większymi kropkami. Ilustracja własna.

Na osi X odłożona jest część rzeczywista, na osi Y: urojona. Ponieważ liczby urojone często przedstawia się na tego typu płaszczyźnie („płaszczyźnie urojonej”), poniżej dla czytelności poszczególne liczby zapisywane będą jako współrzędne na płaszczyźnie, tj. liczba z=3+5i określana będzie jako liczba (3,5). Duże kółko oznacza przynależność do ZM, małe kółko: ucieczkę do nieskończoności. Widzimy więc przykładowo, że liczba (0,1) należy do ZM, zaś (1,1) – nie. Ten wykres powstał jednak z rozważenia zaledwie 12 liczb; a co się stanie, jeśli weźmiemy nieco większą próbkę? Pytanie to postawił Benoit Mandelbrot i dzięki dostępowi do pierwszych komputerów IBM mógł w 1979 roku rozpocząć testowanie zachowania się równania (1) w tysiącach przypadków, nie wykonując żmudnych obliczeń na papierze.

Po obliczeniu zachowania się równania (1) dla 200 różnych liczb, otrzymywany jest nieco ciekawszy wykres (Ryc. 2).

Ryc.2 Zachowanie się równania (1) w 195 przypadkach. Punkty należące do zbioru Mandelbrota oznaczone są większymi kropkami. Ilustracja własna.

Nie ma jednak ograniczeń dla „rozdzielczości” naszego badania – zbiór Mandelbrota zawiera wszystkie liczby spełniające opisany warunek; jest to więc zbiór o nieskończonej liczbie elementów. Gdy więc przeprowadzimy badanie dla odpowiednio dużej próbki liczb zespolonych, uzyskamy w końcu następujący znany wykres (każdy czarny punkt oznacza liczbę należącą do ZM):

Ryc. 3. Zachowanie się równania (1) dla ok. 250000 punktów, czyli dla każdego piksela tej ilustracji. Punkty należące do zbioru Mandelbrota oznaczone są jako czarne piksele. Źródło: Wikimedia (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Mandelset_h

Co w tym ciekawego?

Już na pierwszy rzut oka na Ryc. 3 widać oszałamiające bogactwo detali ZM. Zanim pójdziemy dalej, warto zatrzymać się na chwilę, żeby docenić rolę komputerów w odkryciach matematycznych. Przypuśćmy, że chcemy śledzić zachowanie się równania (1) dla 200 różnych liczb zespolonych (Ryc. 2), wykonując 10 „kroków” (iteracji) równania, tj. dochodząc od z₀ do z₁₀. Razem oznacza to wykonanie 2000 operacji mnożenia i 2000 operacji dodawania liczb zespolonych. Przypuśćmy, że sprawny matematyk wykona taką parę obliczeń w 10 sekund (choć dla liczb 5-cyfrowych trudno się tego spodziewać…) Oznacza to prawie 6 godzin nieustannej pracy. Efektem jest dopiero delikatny zarys zbioru Mandelbrota!

Uzyskanie pełnej szczegółów ilustracji typu tej z Ryc. 3 wymaga już nie tylko „sprawdzenia” większej ilości punktów, ale też wykonania większej liczby iteracji dla każdego punktu. Dla 250000 punktów i 50 iteracji oznacza to… 4 lata nieustannej pracy.

By nie przedłużać już tej parady przybliżeń, skupmy się od razu na jednym ze szczegółów ZM, wy wydobyć z niego to, co może być dla nas filozoficznie interesujące:

Ryc. 4. Wizualizacja fragmentu zbioru Mandelbrota. Obraz wykonany za pomocą darmowego programu Fractint (http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html).

Warto mieć cały czas w pamięci istotę omawianego zjawiska. Przypomnijmy więc, czym tak naprawdę różnią się od siebie dwa zaznaczone na ilustracji białe punkty. Punkt „północno-wschodni” reprezentuje liczbę ( -0,5587863 , +0,4827374 ), która po podstawieniu do równania (1) sprawi, że z nie będzie zdążało do nieskończoności. Punkt „południowo-zachodni” reprezentuje liczbę ( -0,5587898 , +0,4827329 ), która po podstawieniu do równania (1) sprawi, że z będzie zdążało do nieskończoności. Ot i cała różnica. W jaki sposób „nadgryźć” problem? Zacznijmy od próby jego zdefiniowania: co właściwie jest tu interesujące?

Większość osób wciągniętych w wir zbioru Mandelbrota mówi zwykle o zadziwiającym połączeniu prostoty równania generującego ten zbiór ze złożonością jego graficznej reprezentacji. Najwyraźniej dwie linijki definiujące równanie rekurencyjne (1) zawierają w sobie klucz do fenomenalnego wszechświata geometrycznych kształtów. Istnieją równania wielokrotnie dłuższe, które nie generują niczego bardziej fascynującego niż okrąg albo punkt. Tutaj, coś, co rozpoczęło się jako proste ćwiczenie arytmetyczne, okazuje się być tematem godnym niejednej monografii. Setki matematyków ostrzy pazury matematycznych metod na zbiorze Mandelbrota, a ilość związanych z nim zagadek wydaje się wzrastać wraz z postępem naszej wiedzy…

Nie mniej istotny jest artystyczny potencjał ZM (i wielu innych podobnych do niego obiektów matematycznych) – jego graficzna reprezentacja jest od lat nieustającym źródłem estetycznej radości i natchnienia. Dość powiedzieć, że nawet „twardzi” matematycy posługują się w opisie ZM takimi określeniami, jak Dolina Koników Morskich i Dolina Słoni, a bardziej artystycznie nastawieni opisują „żarówki nanizane na błyskawice”, „podwójne berła” i „czwór-spirale”… jest jasne, że możliwości deskryptywne języka naturalnego są mizerne w obliczu prawdziwej złożoności ZM. Gdzie leży pomost między algebrą liczb zespolonych a tym czymś?

Ryc. 5. Wizualizacja zbioru Mandelbrota z dodatkowym kolorowaniem. Punkty należące do ZM to czarne piksele. Punktom nienależącym do ZM przyporządkowany został kolor w zależności od tego, jak szybko w ich przypadku równanie (1) „ucieka” do nieskończoności.

Gdzie „siedzi” złożoność zbioru Mandelbrota?

Na początek wypada przyjrzeć się dokładniej twierdzeniu o matematycznej prostocie równania (1). Owszem, jest ono proste, ale w oderwaniu od języka algebry jest tylko nic nieznaczącym ciągiem znaków! Warto więc pamiętać o wkładzie algebry (która sama jest przecież tworem bardzo złożonym) w ostateczny kształt ZM. Nasuwa się tu analogia biologiczna. Często słyszy się o „oszałamiającym fakcie”, że ledwie 25000 genów jest w stanie wytworzyć kosmiczną złożoność dorosłego ludzkiego organizmu – rozwiązanie tego pozornego paradoksu jest jednak identyczne, jak w przypadku ZM. Geny ulegają ekspresji jako białka, te zaś funkcjonują w biochemicznym środowisku, którego prawa są nieprawdopodobnie złożone. Informacja przekazana przez sekwencje nukleotydów jest zaledwie kroplą w morzu informacji, które zostają „wykorzystane” przy konstruowaniu organizmu ludzkiego. Mówiąc żargonem metafizyki arystotelejskiej, geny zawierają przepis na nerkę albo mózg tylko potencjalnie (w możności), a do ich aktualizacji potrzebne jest jednak oddziaływanie z rzeczywistością biologiczną i abiotyczną świata. Genom człowieka sam w sobie może jednak równie dobrze nie doprowadzić do powstania absolutnie niczego.

Po drugie, pojawia się kwestia produkowania obrazów ZM: wymaga ono przecież olbrzymiej ilości obliczeń – tak dużej, że przed erą komputerów nikt nie miał szans dotrzeć do Doliny Koników Morskich. Można więc postawić subtelne filozoficzne pytanie, czy faktyczna realizacja obliczeń jest warunkiem zaistnienia ZM w całej jego złożoności?

Koniki Morskie są owszem zawarte jako możliwość w równaniu (1), uzyskują jednak aktualność dopiero po faktycznym użyciu tego równania do wygenerowania odpowiedniej grafiki i po wykonaniu przez komputer milionów operacji matematycznych. Wielu filozofów uważało istnienie w możności za „poślednie” względem istnienia aktualnego – przykładowo, byt będący w możności nie może być przyczyną zajścia jakiegoś zdarzenia. W tym przypadku Koniki Morskie będące dopiero „ukryte” w równaniu (1) nie są w stanie wywołać np. zachwytu estetycznego albo zadumania filozoficznego – potrzebne jest „spełnienie” tej możności w akcie wygenerowania obrazu przy pomocy odpowiedniej aplikacji komputerowej. Ta zaś w żadnej mierze nie jest już tworem prostym… Zwróćmy uwagę, że pierwszy obraz na tej stronie (Ryc. 1), który wszak w swoich matematycznych „bebechach” nie różni się niczym od ostatniego (Ryc. 5), nie wprawiłby większości ludzi w zachwyt. Dodatkowo warto zauważyć, że w przeważającej większości przypadków sam ZM nie wystarcza i stosuje się różnego typu „sztuczki” estetyczne typu dodatkowego kolorowania opisanego w podpisie do Ryc. 5. Czy to już, samo w sobie, nie jest argumentem na rzecz tezy, że to bynajmniej nie sama forma matematyczna równania (1) stanowi o złożoności i pięknie ZM?

Wracamy teraz do początku. Droga od prostoty do złożoności nie jest taka prosta, jak mogłoby się wydawać. Nie jest to nagły przeskok od równania (1) do Ryc. 5, podobnie jak nie ma prostego przeskoku od genomu do dorosłego organizmu. Złożoność narasta krok po kroku wraz z włączaniem się kolejnych „graczy”. Po stronie matematyki są to kolejne twierdzenia algebry, kolejne operacje matematyczne i kolejne reguły kolorowania. Po stronie biologii są to prawa genetyki, biofizyki i biologii komórki oraz oddziaływania komórek ze środowiskiem. Nie ma tu mowy o żadnym creatio ex nihilo.

Na koniec pozostał najtwardszy orzech do zgryzienia. Dlaczego jedno równanie może „wygenerować” Koniki Morskie i Dolinę Słoni, a inne nic albo nic ciekawego (1=1=2; x=6)? Analogia do biologii pomaga tylko częściowo. Przypadkowo wybrany ciąg nukleotydów nie składa się w „płodny” genom, który ma w możności „wygenerowanie” mózgu lub nerki. Tego typu losowy „pseudogenom” jest kompletnie bezpłodny, ponieważ po „przetłumaczeniu” go na język białek oraz po wrzuceniu tychże białek w zastany świat reakcji chemicznych i błon komórkowych nie dochodzi do komunikacji między tymi obiektami. Parametry środowiska oraz prawa biologii komórki ostatecznie decydują o poziomie „płodności” danego genomu, a teoria ewolucji uczy, czemu obserwujemy wyłącznie genomy bardzo płodne.

W świecie matematyki brak środowiska, w którym oddziaływałyby ze sobą obiekty matematyczne i brak elementu selekcji, którego dostarcza ewolucja biologiczna. Pozostają wyłącznie „reguły gry”, reprezentowane tu przez prawa i metody algebry. Czy to więc gdzieś w aksjomatach algebry tkwi ukryta odpowiedź na pytanie, dlaczego równanie (1) jest tak „płodne”?

Łuksz Lamża