Co się kryje między sześcianami

Są we mnie dwie osoby, artysta i odkrywca – mówi Janusz Kapusta. – Artysta rozmawia z kosmosem, a z odkrywcą rozmawia kosmos. Kolumb odkrył Amerykę, gdy płynął po coś zupełnie innego, Ameryka zaś tam po prostu była.

W kosmosie był także k-dron.

Janusz Kapusta urodził się w liczącym wówczas stu mieszkańców Zalesiu w powiecie kolskim, w 1951 r. Liceum plastyczne skończył w Poznaniu, gdzie studiował też na ASP. Architekturę i historię filozofii studiował w Warszawie. W 1981 r. wyjechał do Nowego Jorku, gdzie miał ilustrować książki – i tam stan wojenny zrobił z niego emigranta.

Jako grafik zaczynał na łamach „Szpilek” i „ITD”, w Stanach rysował dla „New York Timesa”, „Wall Street Journal” i „Washington Post”. Ale historia z k-dronem – nową figurą geometryczną – zaczyna się znacznie wcześniej: gdy jako student historii filozofii na Akademii Teologii Katolickiej jechał rowerem.

Będzie tę historię opowiadał na kolejnych z setek prezentacji i wykładów: iż w podstawówce miał piątkę z tego, że Bóg jest, i z tego, że Boga nie ma – wystarczyło mówić to, czego oczekiwał nauczyciel. I że później, gdy zaczął tę sprzeczność rozważać, rozsypał mu się świat. Przechodzi duchowy kryzys.

– Wychodząc z niego, zadałem sobie pytanie, co mi się przytrafiło. Nie znalazłem odpowiedzi ani w teraźniejszości, rozmawiając z ludźmi, ani w przeszłości, czytając książki, nadzieje pokładałem więc w przyszłości. Za przeszłość odpowiada pamięć, za teraźniejszość zmysły. Co odpowiada za przyszłość? Wyobraźnia, odpowiedziałem sobie, i zacząłem ją ćwiczyć – opowiada. – Żeby pewnego dnia, zamiast zastanawiać się nad światem, zbudować go dla siebie.

Droga do nieskończoności

Jedzie więc rowerem na zajęcia w ATK i zastanawia się np., jak narysować nieskończoność. Po powrocie do domu kreśli linię horyzontu, a na niej punkt, gdzie w nieskończoności spotykają się linie równoległe, biegnące od rogów przeciętego horyzontem prostokąta. Po zacieniowaniu wygląda to nieco jak korytarz niknący w dali. Ale mówi się przecież o „plus-minus nieskończoności”. Odbija więc rysunek według poziomej osi symetrii i pod korytarzem otrzymuje jakby piramidę wyciągającą wierzchołek ku widzowi.

Ten rysunek wróci do niego już w USA. Pokazuje go na wspólnej z innymi polskimi grafikami wystawie. Ulotki tej wystawy wydrukowano z błędem, dostał więc tysiąc niepotrzebnych egzemplarzy z własnym rysunkiem.

– Wpatrywałem się w nie jak w prowokację kosmosu, bo po co nagle dostałem tysiąc niepotrzebnych rzeczy? I nagle zorientowałem się, że gdy się odetnie to, co powyżej górnej i poniżej dolnej linii horyzontu, otrzyma się kwadrat – opowiada. – A w nim inny kwadrat. To mnie urzekło. Zacząłem te ulotki wycinać, układać obok siebie jak kafle, i zobaczyłem, w jakie ciekawe i dziwne, a regularne wzory się to układa. Jako absolwent architektury od razu pomyślałem, że byłaby to świetna płytka ceramiczna.

Dwa tygodnie później zadzwonił kolega architekt z informacją o konkursie na płytkę. Tyle że trójwymiarową: – Wtedy mnie olśniło: przecież ten wzór można przedstawić też w trójwymiarze.

Górna część to pół piramidy. Dolna to otoczona ścianami przestrzeń po połówce piramidy. Z kwadratowej podstawy wyłania się pod kątem 45 stopni romb. Takie płytki po ułożeniu tworzą ujmującą regularność.

– Zaintrygowało mnie to – mówi Janusz Kapusta. – Bo pamiętałem z Hugo Steinhausa, że istnieją tylko trzy siatki regularne: z trójkątów równobocznych, kwadratów i sześciokątów. A tymczasem mój kształt u przylegającej do ściany podstawy miał kwadrat, ale wystawało zeń pół sześciokąta. Dostrzegłem, że można tym kształtem pokryć dwie siatki. Wróciłem do domu, zacząłem robić modele.

Odkrycie nowej figury geometrycznej zaczyna się od pytania o nieskończoność, ale potem górę bierze praktyka. Oraz wycinanie i układanie klocków. 11 stycznia 1995 r. Janusz Kapusta konstruuje model bryły o 11 ścianach i tylko jednej osi symetrii. Nazywa ją k-dron. – Jedenastą literą alfabetu angielskiego jest „k”, a końcówka „-hedron” oznacza ściany w nazwach brył. Ale „k-dron” brzmiało krócej. A poza tym, co zauważają bystrzejsi, moje nazwisko zaczyna się na „k”.

Najpierw fascynuje go, jak wzór z takich płytek się zmienia w zależności od kąta padania światła. – Ale eureka przyszła, gdy bawiłem się modelami, była 5 rano, i nagle jeden model wpadł w drugi. I zniknął.

Dwa k-drony nałożone jeden na drugi dają prostopadłościan, a przy kącie 45 stopni – sześcian. Absolwent architektury myśli praktycznie: że takie płytki będą też łatwe w transporcie. Występuje o amerykański patent, który otrzymuje po dwóch latach. – To potwierdzało, że nikt przede mną tej figury nie zauważył – mówi.

Nowa siatka i drgająca struna

Kafelki to jedno. Ale jakim bytem matematycznym jest k-dron? I na jakiej podstawie można właściwie stwierdzić – poza tym, ma się rozumieć, że się otrzymało nań patent – że jakiś kształt jest nowo odkryty?

– Znalezienie tego kształtu w kosmosie zajęło mi osiem lat – mówi Janusz Kapusta. I prezentuje rzut sześcianu podzielonego płaszczyznami przechodzącymi przez wszystkie jego osie symetrii. Efektem jest siatka z 48 ostrosłupów, które wszystkie spotykają się wierzchołkami pośrodku. – To znany matematykom podział – tłumaczy. – Jako pierwszy badał go w XIX w. szwajcarski matematyk Ludwig Schläfli. Ale w tę siatkę nie da się wpisać k-dronu.

Pokazuje następny rzut. Cztery tak podzielone sześciany, dwa obok siebie, a kolejne dwa na nich. Teraz należy przesunąć się wzrokiem o pół długości boku sześcianu w bok i o pół w dół. Pośrodku czterech tak zestawionych sześcianów odcinki części wpisanych w nie ostrosłupów tworzą k-dron.

– Co więcej, dwa złożone ze sobą k-dro- ny tworzą wprawdzie sześcian, ale to już inny sześcian niż ten, od którego wyszliśmy – dodaje Janusz Kapusta. – W geometrii istnieje więc nie jeden sześcian, lecz dwa. Obok sześcianu zawierającego siatkę Schläfliego otrzymujemy w stosunku do sześcianów wyjściowych i ich symetrii nową siatkę, którą nazwałem k-dronową.

K-dron odnalazł się więc w przyrodzie obok znanych dotychczas figur. Nieco z boku, dostrzeżony dopiero, gdy popatrzyło się pod nieco innym kątem.

Pierwszy wzór opisujący k-dron podał prof. Janusz Łysko z Widener University w Pensylwanii. Była to funkcja dwóch zmiennych, której wykres daje górną powierzchnię k-dronu. Później w Nowym Jorku Kapusta poznaje prof. Stanisława Kwapienia z Texas AM University i Uniwersytetu Warszawskiego. Naukowiec przyjechał na krótko, nie ma wiele czasu, odkrywca opowiada mu więc o k-dronie na schodach Metropolitan Museum of Arts. Po trzech miesiącach dostaje od prof. Kwapienia list.

„Szanowny Panie – pisze matematyk eleganckim, pochyłym pismem. – W czasie prowadzenia wykładów z równań różniczkowych na tutejszym uniwersytecie natknąłem się na kształt k-dronu”.

Natknął się nań w popularnym podręczniku uniwersyteckim. Jeden z zamieszczonych tam wykresów przypominał k-dron. W liście do Kapusty pisze, że funkcja, której wykres jest powierzchnią k-dronu, jest rozwiązaniem równania opisującego drganie struny. „Jeśli k-drony ustawimy w rzędzie (bez uskoków) i wezmę strunę o długości równej podstawie k-dronu – spłaszczonego, dodaje, bo nierealistyczne jest szarpanie struny na wysokość porównywalną z jej długością – jeśli szarpnę ją za środek do połowy wysokości k-dronu, to po czasie = t jej kształt będzie taki sam jak przekrój poprzeczny rządku k-dronów w odległości = t od początku tego rządku”.

– K-dron to czasoprzestrzenny model równania drgającej struny – podsumowuje Janusz Kapusta. Inaczej rzecz ujmując: jeśli na wykresie, którego jedną osią jest czas, drugą – długość struny, a trzecią – wysokość szarpnięcia, odłoży się kolejne fazy drgania, to trójwymiarowy rysunek będzie przypominał powierzchnię k-dronu.

W 2016 r. prof. Jerzy Gawinecki ze współpracownikami z wydziału cybernetyki Wojskowej Akademii Technicznej opublikowali w Biuletynie WAT nr 1(681)/2016 artykuł „K-dron, jego matematyczne modelowanie i zastosowanie”, w którym przedstawili nowy wzór na powierzchnię k-dronu, jak piszą w abstrakcie: „stosując metodę transformacji Laplace’a do wyznaczenia rozwiązania zagadnienia brzegowo-początkowego do równania drgań struny”.

– To była dla mnie niezwykła ulga – przy- znaje Janusz Kapusta. – Bo rozmawiamy tu o czymś o wiele bardziej fundamentalnym niż przecinanie sześcianu jakimiś płaszczyznami. Okazało się, że tym nożem rozcinającym sześcian na dwa k-drony jest równanie drgającej struny. Ale struna w równaniu drga tylko w jeden sposób. Stąd i k-dron jest jedynym rozwiązaniem. Był sześcian i było równanie drgającej struny, i w k-dronie one się pierwszy raz połączyły. To znaczy, że k-dron tam był zawsze, a mnie się przytrafił tylko w wyniku szeregu przypadków.

Z powrotem do zmysłów

K-dron ma w sobie coś prowokującego. Raz wzięty do ręki, nie pozwala się odłożyć, nęci do układania z niego kolejnych kombinacji. Na przykład gdy osiem k-dro- nów połączy się górnymi wierzchołkami po cztery i złoży tak otrzymane figury ze sobą, powstanie bryła zamykająca w swoim wnętrzu sferę mieszczącą dwunastościan rombowy. – Osiem elementów tworzy dwunastościan. Zna pan jakiś inny przykład takiej sytuacji? – pyta Kapusta.

Albo weźmy cztery białe i cztery czarne k-drony, i złóżmy je parami w cztery dwukolorowe sześciany. A potem zestawmy je w kwadrat. Jak tłumaczy odkrywca, istnieje 144, czyli 38 416 kombinacji wzorów złożonych z dwukolorowych wielokątów, które powstaną na powierzchni takiego kwadratu. Z układów owych 38 416 kształtów Janusz Kapusta generuje kolejne wzory, sekwencje i obrazy.

Jak na praktyka przystało, wymyśla dla swoich k-dronów 168 zastosowań.

A więc np. pustak o jednej ze ścian uformowanych w dwa sąsiadujące k-drony. Pierwszym budynkiem, w którym go wykorzystano, było hollywoodzkie Alias Studio. – Fasada z sąsiadujących k-dronów niesamowicie się zmienia w zależności od kierunku układania się światła – mówi. – Ale okazało się, że taka powierzchnia, przez swoją trójwymiarowość, również znakomicie rozprasza dźwięk – dodaje i z dumą puszcza wideoklip Christiny Aguilery, na którym widać ją śpiewającą w studiu House of the Blues w Las Vegas. W tle 19-letniej wówczas wschodzącej gwiazdy pop widać ścianę studia wyłożoną k-dronami.

Pokazuje też głośniki w kształcie wydłużonego k-dronu, z membranami umieszczonymi na skośnej ścianie. – Zaprojektował je inżynier Józef Cywiński podejrzewając, że komora powstała w górnej części k-dronu mogłaby poprawić brzmienie niektórych częstotliwości – wyjaśnia. Nie było to jeszcze testowane, ale na pewno takie głośniki – włożone jeden w drugi – byłyby łatwe w transporcie.

Kapusta niestrudzenie projektuje k-dronowe budynki, meble, dekoracje. W 1995 r. nakładem WSiP wydaje książkę „K-dron. Opatentowana nieskończoność”. Gigantyczny, srebrny k-dron o wymiarach 6 na 6 metrów bierze nawet udział w nowojorskiej Paradzie Pułaskiego w 2008 r.

Gra-układanka z k-dronów brzmi jak oczywistość. K-dronowa butelka na nalewki prezentuje się pięknie, jak monokryształ. Ale żeby z k-dronów złożonych w sześciany układać posadzkę? – Korzyść jest taka, że k-drony się klinują i posadzka staje się stabilna, odporna na osiadanie – przekonuje Janusz Kapusta. A to z kolei inspiruje do szukania zastosowań k-dronów w strukturach konstrukcyjnych. Na przykład na ekrany akustyczne przy autostradach. Jeśli zaś przedłuży się k-dron o odwrócone połówki powstałe z przecięcia drugiego, trójkątne powierzchnie utworzą przęsło, np. dla konstrukcji dachowych. Kapusta opowiada też, że inżynier z Pittsburgha Jerry Apt zaprojektował z k-dronów fundamenty dla budowli odpornych na trzęsienia ziemi: dwa nieco rozsunięte k-drony tworzą gniazdo dla budowli również zbudowanej z k-dronów, która miałaby się w takim gnieździe w kontrolowany sposób przesuwać.

Biżuteria? Proszę bardzo: odkrywca prezentuje dwa pierścionki z k-dronem zamiast oczka. Jeden idealnie pasuje do drugiego, dając perfekcyjne symbole związku. Skromniejszym prezentem mogą być, serwowane w pewnej nowojorskiej kawiarni, k-dronowe czekoladki.

Świat odrobinę bogatszy

– Chciałem, żeby miał pan pogląd na skalę tego szaleńczego pomysłu – mówi Janusz Kapusta na koniec rozmowy, czy raczej wykładu, zamykając komputerową prezentację, i nie brzmi to jak przesada. To przeszło 30 lat pomysłów, kreacji, projektów i dzieł wygenerowanych z jednej tylko figury geometrycznej.

Na łamach katalogu jego wystawy z 1999 r. w Muzeum Sztuki w Łodzi i w Galerii Sztuki Współczesnej BWA w Katowicach dr Bożena Kowalska pisze o Januszu Kapuście: „Jego sposób myślenia nie jest sposobem myślenia artysty sięgającego po matematykę. Kapusta jest umysłem usytuowanym wewnątrz matematyki, ale też jednocześnie wewnątrz sztuki. Nie jest więc także matematykiem sięgającym po sztukę. Gdy myśli abstrakcyjnymi pojęciami – stają się one niekiedy kształtami w przestrzeni. Umie je plastycznie odtworzyć i matematycznie opisać. Nie są dla niego wyłącznie pojęciami (jak np. nieskończoność), ani wyłącznie próbą wizualnego ich odtworzenia, ani też ich matematycznie opisywalną i geometrycznie uzasadnioną formą. Są wszystkim naraz i w tym dopiero wymiarze mają dla niego istotny sens i wartość. Dopiero swobodne poruszanie się na tych przecięciach obszarów filozofii, matematyki i sztuki spełnia jego imperatyw tworzenia”.

My, ludzie, myślimy figuratywnie i z otaczających nas form budujemy metafory. Koło to symbol doskonałości, trójkąt oznacza hierarchię. Wypada więc zapytać, jakie znaczenie niesie nowa figura.

– Sześcian Schläfliego z jego podziałami jest symetryczny, statyczny, zakleszczony – odpowiada Janusz Kapusta. – Siatka k-dronowa powstaje z przesunięcia, jest jakby w ruchu. Tamten sześcian reprezentuje wieczność, mój, k-dronowy, reprezentuje czas.

I może to właśnie dlatego k-dron jest tak inspirujący. Bo wywodzi się ze spojrzenia na znaną geometrię pod nieco innym kątem, nieznacznego przesunięcia w znanej siatce.

– Pewien amerykański milioner, zobaczywszy k-dron, zapytał mnie: „Po coś ty to wymyślił”? – wspomina artysta. – Wydusiłem tylko: „żeby świat był odrobinę bogatszy”. Bogactwo to przecież więcej elementów do przeżywania. A dzięki k-dronowi wszechświat jest bogatszy o nowy kształt.

Michał Kuźmiński

Korzystałem m.in. z J. Kapusta, J. Gawinecki, J. Łazuka, J. Rafa, „K-dron, jego matematyczne modelowanie i zastosowanie”, Biuletyn WAT, nr 1/2016, z materiałów udostępnionych przez Janusza Kapustę oraz strony internetowej www.k-dron.com.