Co dwa wahadła, to nie jedno

iszą sobie swobodnie, trącamy je lekko palcem i… nic spektakularnego się nie dzieje. Pohuśtały się wahadełka na boki i zgasły stłumione oporami tarcia i powietrza. No dobrze, spróbujmy trochę mocniej je rozbujać. O! A to co? Dolne wahadło nieźle się rozszalało! Na początku leci z impetem w dół po okręgu, a potem gwałtownie zmienia zwrot, szybuje do góry i znowu na dół. Trzeba to nagrać.
O! Ta figura była ładna, spróbujmy ją powtórzyć. Hmm… Nie udało się, chociaż wypuściliśmy wahadło dokładnie z tej samej pozycji. No dobrze, podejdźmy do sprawy bardziej systematycznie: weźmy ekierkę i wychylmy ramiona dokładnie o kąt prosty. Całkiem nieźle! Na początku oba ramiona huśtały się razem na boki, ale później dolne się zbuntowało i zaczęło harcować. A teraz to powtórzmy. Hmm… To bardzo dziwne! Zaczyna się tak samo – spokojnie, ale dalsze tańce wyglądają już inaczej niż poprzednio. Może krzywo trzymaliśmy ekierkę? Spróbujmy jeszcze raz. Znowu inaczej! Może ekierka jest krzywa?

Po kilkuset próbach i zapchaniu pamięci w kamerze wciąż nie potrafimy okiełznać podwójnego wahadła. Zawsze jest tak samo: dolne ramię najpierw jest grzeczne, a potem wyczynia, co chce! I za Chiny nie potrafimy go zmusić, żeby powtórzyło ten sam taniec dwa razy. Kompletny chaos!
Czy to się w ogóle da opisać w sposób ścisły? Czyżbyśmy właśnie odkryli wyrwę w racjonalności świata?

Oksymoron

A jednak w tym szaleństwie jest metoda. Możemy opisać ściśle podwójne wahadło, choć trzeba się w tym celu nauczyć teorii równań różniczkowych. Brzmi to dość przerażająco, ale dla chcącego nic trudnego. W końcu mamy teraz komputery, więc wystarczy zapisać równania, a maszyna zrobi za nas resztę. Napisaliśmy więc program i oto możemy symulować nasze wahadła. Wszystko działa, jak Pan Bóg przykazał – dla zadanych początkowych kątów wychylenia, nieważne, czy małych, czy dużych, dostajemy zawsze taki sam ruch. No więc skoro nasz komputer zachowuje się racjonalnie, to dlaczego wahadło na ścianie nie chce? Tu determinizm, a tam chaos… Sprzeczność? Niekoniecznie.

W szkole poloniści powtarzali mi, że kolęda „Bóg się rodzi” zawiera oksymorony, np. „ma granice nieskończony”. Jako wyszczekany uczeń odpowiadałem: „Jaki tam znowu oksymoron? Przecież istnieje nieskończenie wiele ciągów nieskończonych, z których każdy ma dobrze określoną granicę”.

Podobnie jest z chaosem deterministycznym – nie ma tu sprzeczności, jest piękna matematyka.
Jak zatem uzgodnić determinizm symulacji z chaosem rzeczywistego wahadła? Wystarczy trochę się pobawić warunkami początkowymi w naszym programie. Dla kąta wychylenia równego 90 stopni dostajemy pewną krzywą i zawsze taką dostaniemy, ilekroć uruchomimy symulację. Ale jeśli zamiast kąta prostego weźmiemy 91 stopni, to ruch wahadła tylko początkowo będzie przypominał ten otrzymany poprzednio. Po jakimś czasie harce będą wyglądać zupełnie inaczej. 1 stopień kątowy różnicy to nie aż tak mało, spróbujmy zatem 90,1 albo 90,0001. I co? Na początku znów jest podobnie, ale po dostatecznie długim czasie symulacje zaczynają się różnić od tej dla 90 stopni, i to drastycznie! W teorii zatem ruch wahadła jest deterministyczny, ale żeby przewidzieć dokładnie kształt krzywej, jaką wykreśli, musielibyśmy znać warunki początkowe z nieskończoną precyzją.

Ekierki nie są idealne, a ręka podekscytowanego eksperymentatora drży, więc wahadło, choć w pełni racjonalne, nie pozostaje obojętne na naszą niedoskonałość.

Sztuka dla odważnych

Fantazyjne krzywe zakreślane przez podwójne wahadło niewątpliwie są piękne. Doskonale widać je na ekspresyjnych fotografiach prof. Grzegorza Banaszkiewicza. Fascynujący jest fakt, że wszystkie te prace powstały właściwie przez przypadek. Artysta decyduje o tym, z jakiej pozycji puścić wahadło i czy nadać mu jakąś prędkość początkową, a reszta jest już dziełem praw fizyki. Choćby jednak autor nie wiem jak się starał, to nie uda mu się wytworzyć dwóch takich samych obrazów. Wahadło prof. Banaszkiewicza zostało zaprojektowane tak, by miało możliwie dużą energię całkowitą, o czym artysta boleśnie się przekonał [zob. wywiad obok – red.]… Duża energia gwarantuje jednak dużą zmienność i bardziej zwariowane tańce wahadła, a prawdziwa sztuka wymaga poświęceń!

Prace prof. Banaszkiewicza pozwalają na kontemplację zarówno determinizmu, jak i chaosu obecnego w ruchu wahadła. To, co zobaczymy, zależy od tego, co chcemy zobaczyć – zgodnie z wizją artysty. Istnieje jednak również sposób, który pozwala zobrazować strukturę matematyczną podwójnego wahadła „globalnie” – nie przez pryzmat pojedynczych ruchów.

Idea jest stosunkowo prosta: na początku wychylamy każde z ramion wahadła odpowiednio o kąt θ1 i θ2. Puszczamy wahadło w ruch i pytamy, po jakim czasie T dolne ramię znajdzie się do góry nogami. Interesuje nas zatem sporządzenie wykresu T(θ1, θ2). A żeby nasz diagram był czytelny, przyjmijmy następujące zasady kolorowania punktów na płaszczyźnie. Jeśli ramię odwróci się po czasie krótszym niż 10 (w naturalnych jednostkach czasu zdeterminowanych przez długość ramienia wahadła), to malujemy punkt zielony. Jeśli zajmie mu to pomiędzy 10 a 100, to stawiamy czerwoną kropkę, dla przedziału 100-1000 – fioletową, a dla wartości T między 1000 a 10000 – niebieską. Jeśli dolne ramię nie stanie dęba w czasie krótszym niż 10000, to zostawiamy białą plamkę na naszym wykresie. Dysponując dobrym komputerem, możemy upiększyć nasz obraz, dzieląc powyższe przedziały na mniejsze i przyjmując np., że dla krótszych czasów zastosujemy ciemniejszy odcień.

Czego się spodziewamy? Środek obrazu powinien być biały – jeśli początkowe wychylenie jest zbyt małe, to wahadło nie będzie miało dość energii, by dokonać pełnego obrotu. Z drugiej strony, brzegi wykresu będą (ciemno)zielone – im większe wartości kątów, tym większy potencjał do gwałtownych ruchów. Naiwnie można by się zatem spodziewać, że nasz rysunek będzie po prostu centralną białą plamą, która wraz z odległością od środka robi się niebieska, fioletowa, czerwona i w końcu zielona. Jednak prawdziwy wykres (zob. rys. obok) ukazuje nam niebywale bogatą strukturę, niemożliwą do powtórzenia dla najzdolniejszego nawet grafika!

Co uprawnia mnie do tak radykalnej oceny możliwości ekspresji artysty? Otóż: fraktalna struktura wygenerowanego obrazu. Jeśli przybliżymy np. dzwonkowaty biały obszar w lewym górnym rogu rysunku i zwiększymy rozdzielczość, to okaże się, że jego brzegi bynajmniej nie są gładkie, lecz niezmiernie poszarpane. Fraktalność polega na tym, że w dowolnym przybliżeniu zawsze zobaczymy podobne nieskończenie złożone wzory. Jeśli, zamiast przedziałów, zastosowalibyśmy ciągłą gradację koloru punktu, to struktura fraktalna byłaby widoczna w dowolnym obszarze diagramu – poza centralnym białym obszarem.

Wahadłowa lekcja o świecie

Podwójne wahadło jest trochę jak para dzieciaków bawiących się klockami. Na początku bawią się zgodnie i, znając ich upodobania, możemy ze sporym prawdopodobieństwem stwierdzić, że Stasio zbuduje podest, a Zosia weźmie ludziki. Jednak, po pewnym czasie, do niewinnej zabawy zawsze wkradnie się chaos. Wypadki szybko mogą przybrać dramatyczny charakter i konieczna będzie interwencja rodzica, działającego niczym opór powietrza tłumiący energię wahadła.

Powyższa analogia jest dokładniejsza, niż mogłoby się wydawać. Chaos deterministyczny jest zjawiskiem powszechnym, które zachodzi w każdym układzie złożonym, czyli zasadniczo wszędzie.

Systemem złożonym jest pogoda, nasz układ planetarny, giełda papierów wartościowych, migracja ludności i niewątpliwie również mózg ludzki. Ma to dramatyczne konsekwencje dla naszych zdolności przewidywania przyszłości.

Spójrzmy jeszcze raz na ilustrację na poprzedniej stronie – są na niej miejsca, gdzie obszar zielony odpowiadający krótkiemu czasowi obrotu nieomal przylega do rewiru białego oznaczającego, że przeskok w ogóle nie nastąpi. W praktyce oznacza to, że ustawiając początkowe wychylenia, nie mamy zielonego (ani białego) pojęcia o tym, w którym momencie dolne wahadło stanie dęba. Podobnie nie wiemy, kiedy Zosia ze Stasiem zaczną się dzisiaj kłócić, chociaż damy im te same klocki w tym samym pokoju i o tej samej godzinie co zwykle. Można się zżymać i pytać, dlaczego akurat dzisiaj pada deszcz albo zniżkuje kurs akcji, ale to w żaden sposób nie pomoże nam zrozumieć, jak na przyszłość nie zmoknąć i nie stracić na giełdzie.

Taka jest natura świata i musimy się z tym pogodzić. Dobra wiadomość jest taka, że na pewno nie będzie nudno. ©

Michał Eckstein

Autor jest doktorem matematyki oraz fizykiem, pracownikiem Uniwersytetu Jagiellońskiego i członkiem Centrum Kopernika.